Weltbilder

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Mathematik ist das Alphabet, mit dessen Hilfe Gott das Universum beschrieben hat.

Galileo Galilei

Axiom: Grundsatz, der für sich allein als wahr angenommen wird bzw. der selbst-evident ist und keines weiteren Beweises bedarf und sich ggf. nicht aus fundamentaleren Grundsätzen ableiten lässt.

Klassische Aussagenlogik: befaßt sich mit der Analyse von Verknüpfungen gegebener Aussagen, die jeweils entweder wahr oder falsch sind (auch wenn im Einzelfall ggf. unbekannt ist, was von beidem zutrifft). Bsp.: Wenn sowohl Aussage A als auch Aussage B wahr ist, dann sind auch die Aussagen „A und B“ und „A oder B“ wahr.

Axiomatisierung der Mathematik: Der Versuch, beliebige mathematische Sätze (sprich mathematische Wahrheiten/mathematisches Wissen) aus einer möglichst kleinen, widerspruchsfreien Grundmenge an Axiomen abzuleiten, die allgemein unter Mathematikern akzeptiert werden.

Auswahlaxiom: Mathematisches Axiom, das von der Mehrheit der Mathematiker akzeptiert wird (aus pragmatischen und ästhetischen Gründen). Es wird allerdings nicht von allen Mathematikern akzeptiert (siehe Banach-Tarski-Paradoxon). Details z.B. unter: https://de.wikipedia.org/wiki/Auswahlaxiom

Banach-Tarski-Paradoxon: Eine Kugel kann in endlich viele Teile zerlegt werden, aus denen sich zwei Kugeln jeweils von der Größe des Originals zusammensetzen lassen. (Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Banach-Tarski-Paradoxon)
Übertragen auf die Realität: Ein Fußball kann so zerlegt werden, dass sich aus den entstandenen Einzelteilen zwei neue Fußbälle zusammensetzen lassen, die jeweils exakt dem originalen Fußball entsprechen. Für den Beweis wird auf das Auswahlaxiom zurückgegriffen, d.h. ohne Auswahlaxiom tritt das Banach-Tarski-Paradoxon nicht auf.
(Hinweis: Der Beweis ist nicht-konstruktiv. D.h. man weiß lediglich, dass es möglich sein muss, eine Kugel zu duplizieren, sofern das Auswahlaxiom als gültig angesehen wird. Allerdings weiß man nicht, wie man dies konkret bewerkstelligen könnte).


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